Der Koeffizient vor dem ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist ein Maximum.
Wir ermitteln die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung .
Klammere zuerst aus:
Der gemischte Term in der Klammer ist , d.h. die quadratische
Ergänzung ist .
Addiere in der Klammer und subtrahiere diesen Term gleich wieder:
Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen:
Löse die Klammer wieder auf:
Lies den Scheitelpunkt ab:
Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt
und der maximale Flächeninhalt .
Es fehlt noch die Angabe der Zaunlänge .
Setze in ein.
.
Antwort: Die Länge des senkrechten Zaunstückes beträgt .
Lösung zu b) mit der Ableitung
Der Definitionsbereich der Variablen ist das Intervall .
Für und für erhält man ein "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt ), d.h. eine Strecke der Länge .
Bedingung für ein Maximum: und
Die beiden Ableitungen lauten:
Setze gleich Null:
ist im Definitionsbereich von enthalten.
Da ist, handelt es sich um ein Maximum.
Es fehlt noch die Angabe der zweiten Zaunlänge .
Setze in ein:
Nun kann die maximale Fläche berechnet werden:
Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt , die Länge des senkrechten Zaunstückes ist und der maximale Flächeninhalt beträgt .